2^n: শক্তিসেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের এই সূত্র কীভাবে কাজ করে?

হয়তো আমরা যারা এই আর্টিকেল পড়ছি, সবাই জানি যে সেট কী। বই-পুস্তকের ভাষায়, বাস্তব বা চিন্তা জগতের সুসংজ্ঞায়িত বস্তুর সংগ্রহকে সেট বলে।
2^n সূত্র দিয়ে শক্তিসেটের উপসেট সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, এটা আমরা জানি। কিন্তু তোমার আমার মতো যাদের একটু 'কেন' এর ক্ষুধা বেশি, তাদের জন্যই এই আর্টিকেল লেখা।

এবার অন্য একটা উদাহরণ দিয়ে মূল টপিকে ফেরা যাক। তত্বকথা অনেক হলো।
ধরাযাক, তোমার বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ডে তিন উপায়ে, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুলে দুই উপায়ে এবং স্কুল থেকে পার্কে চার উপায়ে যাওয়া যায়। এবার ভেবে বলো তো, তোমার বাসা থেকে পার্কে মোট কত রকম কম্বিনেশনে যাওয়া সম্ভব?
দেখো,
তুমি বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ডে যেতে চাইলে তিনটা রাস্তা পাচ্ছো। এবার আপাতত শুধু বাসা থেকে স্কুলের কথা চিন্তা করি।
[এখানে H তে বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ডের রাস্তা, B দিয়ে বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুলের রাস্তা বোঝানো হচ্ছে। আর পাশের নম্বর দিয়ে রাস্তার নম্বর।]
H1→B1 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড প্রথম রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল প্রথম রাস্তা]
H1→B2 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড প্রথম রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল দ্বিতীয় রাস্তা]

H2→B1 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড দ্বিতীয় রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল প্রথম রাস্তা]
H2→B2 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড দ্বিতীয় রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল দ্বিতীয় রাস্তা]

H3→B1 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড তৃতীয় রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল প্রথম রাস্তা]
H3→B2 [বাসা থেকে বাস স্ট্যান্ড তৃতীয় রাস্তা, বাস স্ট্যান্ড থেকে স্কুল দ্বিতীয় রাস্তা]

এখানে দেখো, মোট রাস্তার পরিমাণ ছয়। অর্থাৎ, এটা বাসা→বাস স্ট্যান্ড ও বাস স্ট্যান্ড→স্কুলের রাস্তা সংখ্যার গুণফল, 3×2=6।
এবার ভাবো তো, বাসা থেকে পার্কে যাবার সময় মোট কত রকম কম্বিনেশন পাওয়া যাবে? - ঠিক ধরেছো, 3×2×4=24 টি!

এখান থেকে আমরা কী শিখলাম? মোট কম্বিনেশন সংখ্যা=সবগুলো সম্ভাব্য উপায়ের গুণফল। এবার সেটে ফেরা যাক। বলো তো, শক্তি সেট কী? - কোনো সেটে থাকা উপাদানগুলোকে মোট যত রকমের কম্বিনেশনে রাখা যায়, সেইসব কম্বিনেশন নিয়ে তৈরি সেট।
ধরাযাক, A={a,b,c}। তাহলে P(A) তে কী কী ঘটতে পারে?
a→ আছে অথবা নেই
b→ আছে অথবা নেই
c→ আছে অথবা নেই

আমি হয়তো বোঝাতে পারিনি। আরেকটু পরিষ্কার করি। আমাদের A সেটে a,b,c তিনটি উপাদান ছিলো। এখন, এর সাথে যে যে কম্বিনেশন ঘটবে সেগুলো হলো:
1. a আছে, তবে b নেই, c নেই → {a}
2. a নেই, b আছে, c নেই → {b}
3. a নেই, b নেই, c আছে → {c}
4. a আছে, b আছে, c নেই → {a,b}
5. a আছে, b নেই, c আছে → {a,c}
6. a নেই, b আছে, c আছে → {b,c}
7. a নেই, b নেই, c নেই → {}

এখানে আমাদের সম্ভাবনা হলো 2টি, 'আছে' এবং 'নেই'। আর, মোট সম্ভাব্য উপায় হলো সেই সেটে বিদ্যমান উপাদান সংখ্যা।
আমরা একটু আগে কী শিখেছিলাম? - "মোট কম্বিনেশন সংখ্যা=সবগুলো সম্ভাব্য উপায়ের গুণফল"। আমরা আরও জানি, "কোনো সেটে থাকা উপাদানগুলোকে মোট যত রকমের কম্বিনেশনে রাখা যায়, সেইসব কম্বিনেশন নিয়ে তৈরি সেটই হলো শক্তিসেট" দুটোর মাঝে মিল পাচ্ছো?
আমরা শক্তিসেট বের করছি মানে মোট কম্বিনেশনগুলো বের করছি। তো, এখানে সম্ভাব্য উপায় যদি 2 হয়, আর সেটের উপাদান সংখ্যা যদি 3 হয়, তাহলে আমরা মোট কম্বিনেশন কত পাবো? হ্যাঁ, ঠিক ধরেছো। 2×2×2=8। ছোট করে, 2^3=8। সেক্ষেত্রে, সেটের উপাদান সংখ্যা যদি n হয়, তাহলে আমরা মোট কম্বিনেশন কত পাবো? বুঝতে পেরেছো নিশ্চই, 2^n !

তোমারা যারা আমার এই আর্টিকেল পড়লে, তাদের জন্য একটা ছোট্ট টাস্ক।
❝একটা বড় কাগজে 64 টা ছোট ছোট বর্গক্ষেত্র আছে। অনেকটা দাবার বোর্ডের মতো, তবে এক্ষেত্রে সবগুলো বর্গই সাদা রঙের। তোমার কাছে সেই বর্গগুলো রঙ করার জন্য লাল, সবুজ আর হলুদ রং আছে। তুমি চাইলে সবগুলো বর্গই একটা রঙে আঁকতে পারো, অথবা কোনো বর্গে লাল, অন্যকোনো বর্গে সবুজ, ইচ্ছাহলে আর কোনো বর্গে হলুদ রঙ করতে পারো। তবে কোনো বর্গ সাদা রাখা যাবেনা। তুমি এই কাগজটাকে মোট কত রকমের কম্বিনেশনে রঙ করতে পারবে?❞

[আমি গণিতের বড় মাপের কেউ নই, গণিত সম্পর্কে তেমন কিছু জানিও না। এই আর্টিকেলটি মূলত স্কুল পড়ুয়া ছেলেমেয়েদের কাজে আসবে, তাই তাদের কথা মাথায় রেখে পুরো লেখা জুড়ে পাঠককে 'তুমি' বলে সম্বোধন করেছি। বয়সে বড়দের কাছে যেমন এই আর্টিকেলটা ভিত্তিহীন মনে হতে পারে, তেমনই 'তুমি' ডাকটা শ্রবণকটু মনে হতে পারে। আমি আপনাদের কাছে মার্জনা চেয়ে নিচ্ছি।]

--
Himel Das
নবম শ্রেণি
বগুড়া জিলা স্কুল, বগুড়া